样本标准差分母为何是n-1？

小兵

大家好，今天给大家介绍标准差。标准差在统计领域是一个重要概念，有些地方晦涩难懂，特别是样本标准差的分母为何是n-1,而不是n或n-2,接下来我会一一介绍并用计算机模拟难点。    什么是标准差？下面看两组数[28,29,30,31,32],[10,20,30,40,50],它们的平均数都是30。这两组数是一致的吗？实际上，这两组数离散程度有很大区别。



用numpy模块计算，两组数的标准差相差10倍





方差是实际值与期望值之差平方的平均值。方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度!用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2。 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。标准差就是方差的平方根。方差和标准差用于不同场合，方便计算。
（标准差英文解释）


方差公式



标准差公式



难点来了，总体标准差和样本标准差的公式是有区别的，如下图



样本标准差公式中，分母是n-1。



为何样本标准差的分母为何是n-1,而不是n或n-2？
我们用计算机建模，环境Anaconda（python2.7）



参数解释
Sigma表示总体标准差
S表示样本标准差
ddofValue=0 表示样本标准差分母是n
ddofValue=1 表示样本标准差分母是n-1
ddofValue=2 表示样本标准差分母是n-2
算法思路
1.模拟出一个总体（服从正态分布的1000个随机数）
2. 从总体中随机抽样（100个随机数）
3.分别算出总体和样本的标准差，然后相减得到distance差值
4.循环1000次试验，把1000个distance相加，得到total_distance
5.在步骤3中，分别对样本标准差的分母取n, n-1,n-2,  最终得到dict_modes
观察dict_modes，ddof1的绝对值最小3.8
ddof1=1 表示样本标准差分母是n-1


总结：s样本标准差的分母采用n-1更加接近真实的总体标准差。通过计算机模拟，我们证明了为什么样本标准差的分母n-1比较合适,而不是n或n-2。